¿Son equitativos los sistemas de votación democrática?

En el año 1951 el economista Kenneth Arrow (premiado con el Nobel de Economía en 1972) probó la validez del ahora conocido como: “Teorema de la Imposibilidad de Arrow”. Este teorema establece que: “es matemáticamente imposible para cualquier sistema de votación democrática, satisfacer los cuatro criterios de equidad”. En otras palabras: no existe, ni existirá jamás un sistema de votación democrática equitativo, cuando participen de la votación más de dos candidatos.

¿Cuáles son estos criterios de equidad que Arrow menciona? Los cuatro criterios son:

Criterio de la Mayoría: Si un candidato recibe una mayoría de votos que lo ubican en primer lugar en una elección, entonces él debe ser el ganador de la elección.

Criterio “Head to Head”: Si un candidato es favorecido cuando se compara separadamente (significado de “head to head”) con cada uno de los otros candidatos, entonces este debe ser el ganador de la elección.

Criterio de Monotonía: si un candidato gana una elección y en una reelección, los únicos cambios son cambios que favorecen a este candidato, este debe resultar ganador de la elección.

Criterio de Alternativas Irrelevantes: Si un candidato gana una elección y en el recuento los únicos cambios son que uno o más de los candidatos son removidos de la boleta, entonces el candidato ganador debe ser aún el ganador de la elección.

Veamos algunos de los métodos que son usados para determinar el ganador de una elección:

Método de la Pluralidad: El candidato con más votos que lo ubiquen en primer lugar es el ganador.

Método de Conteo de Borda: Los candidatos son organizados de más favorecido a menos favorecido, cada último lugar recibe un punto, cada penúltimo recibe dos puntos, antepenúltimo recibe tres y así sucesivamente. El candidato con más puntos es el ganador.

Método de Pluralidad con Eliminación: El candidato con la mayoría de primeros lugares es el ganador. Si no hay candidato que reciba una mayoría de votos para primer lugar, se elimina de la tabla de preferencias al candidato con la menor cantidad de votos para el primer lugar y el resto de los candidatos son movidos un lugar hacia arriba. Si hay candidato con una mayoría de primeros lugares, va a ser el ganador, si no se repite el proceso.

Método de Comparación por Pares: Usando una tabla de preferencias, se compara cada candidato con el resto de los candidatos. En cada comparación el candidato preferido recibe un punto y si hay un empate, entonces recibe medio punto. Al final de todas las comparaciones el candidato que haya recibido más puntos va a ser el ganador.

Veamos un ejemplo sencillo:

Vamos a suponer que cuatro candidatos se postulan a para ser Presidentes de la Comisión de una ciudad “X”. Los nombres de los candidatos serán: Jorge (J), Pedro (P), Ramón (R) y Carlos (C). La comisión de la ciudad está integrada por 18 comisionados (incluyendo los cuatro postulados y que no participarán de la votación). La tabla de preferencia que recoge el resultado de las boletas de votación, de los catorce comisionados que votan es mostrada a continuación:

Tabla de preferencias
# de boletas con similar orden	6	4	3	1
1er Lugar	J	R	C	P
2do Lugar	R	P	R	J
3er Lugar	P	J	J	R
4to Lugar	C	C	P	C

De acuerdo al método de la pluralidad el ganador de la elección sería Jorge al recibir seis votos en primer lugar; en segundo lugar queda Ramón con cuatro primeros lugares; luego Carlos con tres votos para Presidente y finalmente Pedro con solamente un voto para la primera posición.

Apliquemos ahora el método del conteo de Borda, vamos a asignar cuatro puntos por los votos en primer lugar, tres por los votos en segunda posición, dos por los votos en tercer puesto y finalmente un punto por los votos en cuarto lugar. De ese modo cada candidato recibirá:

Candidato	(Votos x Puntos asignados a esa posición)	Total de Puntos
Jorge (J):	(6x4) + (4x2) + (3x2) + (1x3) = 24 + 8 + 6 + 3 =	41
Ramón (R):	(6x3) + (4x4) + (3x3) + (1x2) = 18 + 16 + 9 + 2 =	45
Pedro (P):	(6x2) + (4x3) + (3x1) + (1x4) = 12 + 12 + 3 + 4 =	31
Carlos (C):	(6x1) + (4x1) + (3x4) + (1x1) = 6 + 4 + 12 + 1 =	23

Acorde a los resultados obtenidos por este método, evidentemente, es Ramón quién recibe mayor puntuación (cuarenta y cinco puntos) y por tanto gana la votación.

Al usar dos sistemas diferentes para el conteo de votos, hemos obtenidos diferentes ganadores. Por un lado, el método de la pluralidad (que da por vencedor a Jorge) viola el criterio de “head to head”, pues al comparar un candidato contra otro Ramón ha recibido mejores puntuaciones que Jorge. Por otro lado, el método de Borda (que da por vencedor a Ramón) viola el criterio de la mayoría, pues Jorge ha recibido mayor cantidad de votos para el primer lugar que Ramón. Si probáramos los otros dos métodos mencionados al principio, posiblemente encontraríamos nuevas discrepancias.

¿Indican acaso estos resultados que la votación democrática es una ilusión, una falacia? Por supuesto que no. La cuestión se trata de establecer las reglas, de modo bien claro, antes de que se realice la elección. Por otra parte, cuando se emplea uno u otro sistema de votación democrática, se viola uno u otro de los principios de equidad; pero cuando se eligen los oficiales “a dedo”, como hacen los “regímenes totalitarios”, se violan todos los principios de equidad juntos.

Apostemos a la votación democrática, a pesar de sus inevitables carencias.