Durante la Segunda Guerra Mundial
fue desarrollada una técnica matemática que permitía aumentar la cantidad de
insumos que eran transportados vía aérea, para el abastecimiento de las tropas.
Esta técnica llamada “Programación
Lineal” permite resolver problemas en los cuales una cantidad determinada
debe ser maximizada o minimizada. De modo muy básico consiste en la solución
grafica o algebraica de un sistema de inecuaciones lineales.
Antes de ejemplificar la forma en
que esta técnica ayuda en el crecimiento de un pequeño negocio, debemos
mencionar un par de definiciones importantes.
Función objetivo: Es una
expresión algebraica en dos o más variables que describe la cantidad a ser
maximizada o minimizada.
Restricciones: Son
impuestas por condiciones del problema real que se modela. Cada restricción es
escrita como una inecuación lineal y agrupadas conforman un sistema de
inecuaciones lineales.
A continuación resolveremos un
problema hipotético, pero que muy bien puede enfrentar cualquier pequeño
negocio.
Un fabricante de uniformes bordados tiene una ganancia de 5 dólares en cada
uniforme (incluye pantalón y camisa/blusa) 3 dólares en cada bordado del
logotipo.
El fabricante, debido a las maquinas que posee, cantidad de empleados y
capital disponible se enfrenta a las siguientes restricciones:
1. La cantidad máxima de uniformes que
puede fabricar mensualmente es de 1000.
2. La cantidad máxima de logotipos que
pueden ser bordados es de 800.
3. El costo de producir un uniforme es de 9
dólares y el de hacer un bordado es de 6 dólares. El gasto mensual de la
empresa no puede exceder los 12,000 dólares.
Para ayudar a nuestro empresario
a maximizar las ganancias comenzaremos escribiendo la función objetivo. En esta
función las variables empleadas representan las siguientes magnitudes: “X” es
el número de uniformes producidos en un mes; “Y” es el número de bordados
realizados en un mes; “Z” es la ganancia que obtiene la empresa a partir de sus
producciones (variable a maximizar)
La función objetivo quedaría:
Z = 5X + 3Y
Representemos ahora las restricciones a través de inecuaciones
lineales:
X ≤ 1000
Y ≤ 800
9X + 6Y ≤ 12,000
Empleando Microsoft Excel, se
grafican las inecuaciones y se resuelve el sistema, sombreándose la zona del gráfico
donde se interceptan todos los conjuntos soluciones como muestra la figura 1. .
Figura. 1.
La zona sombreada es un polígono
de irregular de 5 lados y 5 vértices (puntos de intersección entre los lados).
A cada vértice le corresponde una coordenada X (número de uniformes producidos)
y una coordenada Y (número de bordados realizados). Sustituyendo las coordenadas
X y Y de cada vértice en la función objetivo, se obtiene la tabla 1 mostrada a
continuación:
|
X
(Uniformes producidos)
|
Y
(Bordados realizados)
|
Z
(Ganancia obtenida)
$
|
|
0
|
0
|
0
|
|
1,000
|
0
|
5,000
|
|
1,000
|
500
|
6,500
|
|
800
|
800
|
6,400
|
|
0
|
800
|
2,400
|
Tabla. 1.
De acuerdo a los resultados de la tabla 1, la máxima ganancia se logra
cuando la empresa produce 1,000 uniformes mensuales y 500 bordados. Esta
ganancia máxima es de $6,500 dólares por mes.
Ahora le
corresponde a nuestro empresario, organizar a su personal y disponer su empresa
de modo que garantice un máximo de ganancia.
Como se puede apreciar, no son necesarios grandes conocimientos de
matemáticas para hacer nuestra empresa más eficiente.
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