Sistema de ecuaciones lineales: Herramienta para el éxito en los negocios.

Muchas veces nos hemos preguntado para qué pueden ser empleados esos sistemas de ecuaciones lineales, que los maestros de matemáticas se empeñan en obligarnos a resolver. Generalmente esa pregunta se queda, curso escolar, tras curso escolar, flotando en el aire y nos graduamos sin haber comprendido la utilidad de semejantes “engendros” matemáticos.

A través de este breve artículo, trataremos de descubrir juntos la importancia de resolver y entender el significado de la solución de un sistema de ecuaciones, cuando es aplicado a la relación “costos - ingresos” derivada de la operación de una pequeña empresa, productora de determinado artículo.

Primero veamos, someramente, algunas definiciones del campo de la economía:   

Ingresos (I): Se calcula como el producto del número de artículos vendidos (X)  y el precio unitario de venta de los artículos (P). Traducido a notación matemática, la función ingresos se escribe como:

I(X) = P × X

Costos (C): Se calcula como la suma del costo fijo (al que llamaremos CF) y el producto del costo de unidad producida (c) y el número de unidades producidas (X); considerando que cada una de las unidades que produzcamos serán vendidas. La función costo se representará matemáticamente como:

C(X) = CF + c × X

Los costos fijos (CF) son aquellos costos que la empresa va a pagar independiente de su nivel de operación. Se incluyen como costos fijos: el pago de la renta de las instalaciones, el pago de seguros e incluso pudiera incluirse, en algunos casos, el costo de salario.

El punto de equilibrio es esencial en este análisis. Gráficamente se define como el punto de intersección de la función Ingresos, I(X) y la función costos, C(X). Desde el punto de vista económico, el valor de la coordenada “x” de ese punto nos alerta de cuantas han de ser las unidades a producir tal que el dinero que sale de nuestra empresa producto de los gastos, sea igual dinero que entra debido a los ingresos.

Ilustremos lo antes explicado a través de un ejemplo muy simple: Una pequeña empresa produce zapatos a un costo fijo mensual (CF) de $2,500.00. El costo de cada producir cada par de zapatos es de $5.00 y el precio de venta de los zapatos a los distribuidores minoristas es de $12.00. ¿Cuál es la cantidad de zapatos mínima que se deben producir mensualmente para lograr que la empresa tenga ganancias (el ingreso sobrepase al gasto)?

La función ingresos será:

I(X) = 12X

La función costo se determinará como:

                                          

C(X) = 2500 + 5X

Ahora auxiliándonos de Microsoft Excel, vamos a calcular los valores de las funciones I(X) and C(X) para diferentes cantidades de pares de zapatos  producidos (tabla 1) y graficar ambas funciones en un sistema de coordenadas cartesianas (figura 1):  

Tabla 1. Valores de las funciones I(X) and C(X).

Figura 1. Representación gráfica del sistema de ecuaciones lineales (C(X) y I(X)).

Como se puede apreciar en la figura anterior, para que la empresa tenga ganancias debe producir y vender más de 360 pares de zapatos mensuales (coordenada X del punto de equilibrio). A medida que la producción y venta sobrepase la cantidad antes mencionada, el margen de ganancias de la empresa aumentará.

Este sencillo ejemplo, desarrollado con fines didácticos, nos muestra que nuestros maestros de matemáticas no intentan “torturarnos” al pedirnos resolver sistemas de ecuaciones. Sencillamente tratan de poner en nuestras manos herramientas poderosas para llevarnos al éxito personal y profesional.