Los sistemas de inecuaciones maximizan las ganancias de tu pequeña empresa

Durante la Segunda Guerra Mundial fue desarrollada una técnica matemática que permitía aumentar la cantidad de insumos que eran transportados vía aérea, para el abastecimiento de las tropas.

Esta técnica llamada “Programación Lineal” permite resolver problemas en los cuales una cantidad determinada debe ser maximizada o minimizada. De modo muy básico consiste en la solución grafica o algebraica de un sistema de inecuaciones lineales.

Antes de ejemplificar la forma en que esta técnica ayuda en el crecimiento de un pequeño negocio, debemos mencionar un par de definiciones importantes.

Función objetivo: Es una expresión algebraica en dos o más variables que describe la cantidad a ser maximizada o minimizada.

Restricciones: Son impuestas por condiciones del problema real que se modela. Cada restricción es escrita como una inecuación lineal y agrupadas conforman un sistema de inecuaciones lineales.

A continuación resolveremos un problema hipotético, pero que muy bien puede enfrentar cualquier pequeño negocio.

Un fabricante de uniformes bordados tiene una ganancia de 5 dólares en cada uniforme (incluye pantalón y camisa/blusa) 3 dólares en cada bordado del logotipo.

El fabricante, debido a las maquinas que posee, cantidad de empleados y capital disponible se enfrenta a las siguientes restricciones:

1.    La cantidad máxima de uniformes que puede fabricar mensualmente es de 1000.

2.    La cantidad máxima de logotipos que pueden ser bordados es de 800.

3.    El costo de producir un uniforme es de 9 dólares y el de hacer un bordado es de 6 dólares. El gasto mensual de la empresa no puede exceder los 12,000 dólares.

Para ayudar a nuestro empresario a maximizar las ganancias comenzaremos escribiendo la función objetivo. En esta función las variables empleadas representan las siguientes magnitudes: “X” es el número de uniformes producidos en un mes; “Y” es el número de bordados realizados en un mes; “Z” es la ganancia que obtiene la empresa a partir de sus producciones (variable a maximizar)

 

La función objetivo quedaría:

Z = 5X + 3Y

Representemos ahora las restricciones a través de inecuaciones lineales:

X ≤ 1000

Y ≤ 800

9X + 6Y ≤ 12,000

Empleando Microsoft Excel, se grafican las inecuaciones y se resuelve el sistema, sombreándose la zona del gráfico donde se interceptan todos los conjuntos soluciones como muestra la figura 1. .

Figura. 1.

La zona sombreada es un polígono de irregular de 5 lados y 5 vértices (puntos de intersección entre los lados). A cada vértice le corresponde una coordenada X (número de uniformes producidos) y una coordenada Y (número de bordados realizados). Sustituyendo las coordenadas X y Y de cada vértice en la función objetivo, se obtiene la tabla 1 mostrada a continuación:

  

X (Uniformes producidos)	Y (Bordados realizados)	Z (Ganancia obtenida) $
0	0	0
1,000	0	5,000
1,000	500	6,500
800	800	6,400
0	800	2,400

 

Tabla. 1.

 

De acuerdo a los resultados de la tabla 1, la máxima ganancia se logra cuando la empresa produce 1,000 uniformes mensuales y 500 bordados. Esta ganancia máxima es de $6,500 dólares por mes. 

 

Ahora le corresponde a nuestro empresario, organizar a su personal y disponer su empresa de modo que garantice un máximo de ganancia.

 

Como se puede apreciar, no son necesarios grandes conocimientos de matemáticas para hacer nuestra empresa más eficiente.

Sistema de ecuaciones lineales: Herramienta para el éxito en los negocios.

Muchas veces nos hemos preguntado para qué pueden ser empleados esos sistemas de ecuaciones lineales, que los maestros de matemáticas se empeñan en obligarnos a resolver. Generalmente esa pregunta se queda, curso escolar, tras curso escolar, flotando en el aire y nos graduamos sin haber comprendido la utilidad de semejantes “engendros” matemáticos.

A través de este breve artículo, trataremos de descubrir juntos la importancia de resolver y entender el significado de la solución de un sistema de ecuaciones, cuando es aplicado a la relación “costos - ingresos” derivada de la operación de una pequeña empresa, productora de determinado artículo.

Primero veamos, someramente, algunas definiciones del campo de la economía:   

Ingresos (I): Se calcula como el producto del número de artículos vendidos (X)  y el precio unitario de venta de los artículos (P). Traducido a notación matemática, la función ingresos se escribe como:

I(X) = P × X

Costos (C): Se calcula como la suma del costo fijo (al que llamaremos CF) y el producto del costo de unidad producida (c) y el número de unidades producidas (X); considerando que cada una de las unidades que produzcamos serán vendidas. La función costo se representará matemáticamente como:

C(X) = CF + c × X

Los costos fijos (CF) son aquellos costos que la empresa va a pagar independiente de su nivel de operación. Se incluyen como costos fijos: el pago de la renta de las instalaciones, el pago de seguros e incluso pudiera incluirse, en algunos casos, el costo de salario.

El punto de equilibrio es esencial en este análisis. Gráficamente se define como el punto de intersección de la función Ingresos, I(X) y la función costos, C(X). Desde el punto de vista económico, el valor de la coordenada “x” de ese punto nos alerta de cuantas han de ser las unidades a producir tal que el dinero que sale de nuestra empresa producto de los gastos, sea igual dinero que entra debido a los ingresos.

Ilustremos lo antes explicado a través de un ejemplo muy simple: Una pequeña empresa produce zapatos a un costo fijo mensual (CF) de $2,500.00. El costo de cada producir cada par de zapatos es de $5.00 y el precio de venta de los zapatos a los distribuidores minoristas es de $12.00. ¿Cuál es la cantidad de zapatos mínima que se deben producir mensualmente para lograr que la empresa tenga ganancias (el ingreso sobrepase al gasto)?

La función ingresos será:

I(X) = 12X

La función costo se determinará como:

                                          

C(X) = 2500 + 5X

Ahora auxiliándonos de Microsoft Excel, vamos a calcular los valores de las funciones I(X) and C(X) para diferentes cantidades de pares de zapatos  producidos (tabla 1) y graficar ambas funciones en un sistema de coordenadas cartesianas (figura 1):  

Tabla 1. Valores de las funciones I(X) and C(X).

Figura 1. Representación gráfica del sistema de ecuaciones lineales (C(X) y I(X)).

Como se puede apreciar en la figura anterior, para que la empresa tenga ganancias debe producir y vender más de 360 pares de zapatos mensuales (coordenada X del punto de equilibrio). A medida que la producción y venta sobrepase la cantidad antes mencionada, el margen de ganancias de la empresa aumentará.

Este sencillo ejemplo, desarrollado con fines didácticos, nos muestra que nuestros maestros de matemáticas no intentan “torturarnos” al pedirnos resolver sistemas de ecuaciones. Sencillamente tratan de poner en nuestras manos herramientas poderosas para llevarnos al éxito personal y profesional.