Los sistemas de inecuaciones maximizan las ganancias de tu pequeña empresa

Durante la Segunda Guerra Mundial fue desarrollada una técnica matemática que permitía aumentar la cantidad de insumos que eran transportados vía aérea, para el abastecimiento de las tropas.

Esta técnica llamada “Programación Lineal” permite resolver problemas en los cuales una cantidad determinada debe ser maximizada o minimizada. De modo muy básico consiste en la solución grafica o algebraica de un sistema de inecuaciones lineales.

Antes de ejemplificar la forma en que esta técnica ayuda en el crecimiento de un pequeño negocio, debemos mencionar un par de definiciones importantes.

Función objetivo: Es una expresión algebraica en dos o más variables que describe la cantidad a ser maximizada o minimizada.

Restricciones: Son impuestas por condiciones del problema real que se modela. Cada restricción es escrita como una inecuación lineal y agrupadas conforman un sistema de inecuaciones lineales.

A continuación resolveremos un problema hipotético, pero que muy bien puede enfrentar cualquier pequeño negocio.

Un fabricante de uniformes bordados tiene una ganancia de 5 dólares en cada uniforme (incluye pantalón y camisa/blusa) 3 dólares en cada bordado del logotipo.

El fabricante, debido a las maquinas que posee, cantidad de empleados y capital disponible se enfrenta a las siguientes restricciones:

1.    La cantidad máxima de uniformes que puede fabricar mensualmente es de 1000.

2.    La cantidad máxima de logotipos que pueden ser bordados es de 800.

3.    El costo de producir un uniforme es de 9 dólares y el de hacer un bordado es de 6 dólares. El gasto mensual de la empresa no puede exceder los 12,000 dólares.

Para ayudar a nuestro empresario a maximizar las ganancias comenzaremos escribiendo la función objetivo. En esta función las variables empleadas representan las siguientes magnitudes: “X” es el número de uniformes producidos en un mes; “Y” es el número de bordados realizados en un mes; “Z” es la ganancia que obtiene la empresa a partir de sus producciones (variable a maximizar)

 

La función objetivo quedaría:

Z = 5X + 3Y

Representemos ahora las restricciones a través de inecuaciones lineales:

X ≤ 1000

Y ≤ 800

9X + 6Y ≤ 12,000

Empleando Microsoft Excel, se grafican las inecuaciones y se resuelve el sistema, sombreándose la zona del gráfico donde se interceptan todos los conjuntos soluciones como muestra la figura 1. .

Figura. 1.

La zona sombreada es un polígono de irregular de 5 lados y 5 vértices (puntos de intersección entre los lados). A cada vértice le corresponde una coordenada X (número de uniformes producidos) y una coordenada Y (número de bordados realizados). Sustituyendo las coordenadas X y Y de cada vértice en la función objetivo, se obtiene la tabla 1 mostrada a continuación:

  

X (Uniformes producidos)	Y (Bordados realizados)	Z (Ganancia obtenida) $
0	0	0
1,000	0	5,000
1,000	500	6,500
800	800	6,400
0	800	2,400

 

Tabla. 1.

 

De acuerdo a los resultados de la tabla 1, la máxima ganancia se logra cuando la empresa produce 1,000 uniformes mensuales y 500 bordados. Esta ganancia máxima es de $6,500 dólares por mes. 

 

Ahora le corresponde a nuestro empresario, organizar a su personal y disponer su empresa de modo que garantice un máximo de ganancia.

 

Como se puede apreciar, no son necesarios grandes conocimientos de matemáticas para hacer nuestra empresa más eficiente.

“Compremos una casa: La matemática va en ayuda del sueño americano”

Todos en EUA aspiramos, uno de estos días, a comprar nuestra propia casa; decorarla a nuestro gusto y dejar a un lado la zozobra de pagar una renta “infinita” por vivir en un sitio que nunca será tuyo. Este acto ha sido por décadas, parte esencial del llamado “sueño americano”.

Para tomar las decisiones financieras alrededor de la compra de una casa, es indispensable auxiliarse de un especialista en el tema, que nos ayude a elegir la mejor decisión para nosotros; pero es importante también comprender algunos principios básicos que nos hagan un “comprador inteligente”, es decir un comprador que puede aportar criterios y entender el fundamento de cada una de las recomendaciones de nuestro asesor. Para esto, la matemática viene en nuestro auxilio.

Veamos antes algunas definiciones importantes (del idioma inglés), que deben hacerse familiares al tratar de adquirir una casa:

Mortgage: Es un préstamo a largo plazo (quizás hasta 30 o 40 años), con el propósito de comprar una casa y donde el inmueble es garantía del préstamo. Si el préstamo deja de pagarse, el prestamista toma posesión del inmueble.

Down Payment: Es la porción del precio de venta de la casa, que el comprador debe pagar inicialmente al vendedor. Este pago inicial es un porciento del precio de venta.

Amount of Mortgage: Es la cantidad prestada y se calcula como la diferencia entre el precio de venta y el pago inicial. Se usa para el cálculo del pago mensual.

Monthly payment: Es el pago que se debe hacer mensualmente durante todo el tiempo del préstamo.

Muchas veces al comprar estamos más preocupados por el monto del pago mensual, que por la cantidad final que vamos a terminar pagando por nuestra adquisición. El ciudadano promedio, en estos días de crisis, vive casi de “cheque en cheque”, es decir tiene un presupuesto muy ajustado y no puede excederse en sus gastos.

El pago mensual depende varios factores entre los que se cuentan: cantidad prestada, tasa de interés (interest rate), el tiempo del préstamo (time of the mortgage), etc.

El préstamo puede tener una tasa de interés fija o variable. Cuando la tasa de interés es fija, usted hace los mismos pagos mensuales durante todo el tiempo del préstamo. Para tasas de interés variable, las cantidades a pagar cambian en el tiempo dependiendo de los cambios en las tasas de interés.

Algunos compradores califican para préstamos asegurados por la “Federal Housing Administration” (FHA) y a través de estos programas el pago inicial es mucho menor que para los préstamos normales.

La mayoría de las instituciones de préstamos requieren al comprador pagar uno o más puntos (points) en el momento en que el préstamo comienza. Por ejemplo, un punto implica un pago del 1% del préstamo. Este pago se hace solo una vez.

La tabla siguiente (fragmento) nos muestra el pago mensual por cada 1,000.00 dólares de préstamos (incluyendo solo el principal y el interés):

Interés %	Número de años
	15	20	25	30	35	40
6.5	$8.71	$7.46	$6.75	$6.32	$6.04	$5.85
7.0	8.99	7.75	7.07	6.65	6.39	6.21
7.5	9.28	8.06	7.39	6.99	6.74	6.58
8.0	9.56	8.36	7.72	7.34	7.10	6.95
8.5	9.85	8.68	8.05	7.69	7.47	7.33

 

Veamos el siguiente escenario, que nos ayudará a entender el proceso de toma de decisiones durante la compra de la casa:

Usted tiene la oportunidad de obtener un préstamo para comprar una casa, con las siguientes condiciones: préstamo de $200,000.00; un pago inicial de 10% y el pago de dos puntos en el momento del cierre.

El prestamista le ofrece las siguientes opciones:

Opción 1: Financiar la compra de la casa con interés fijo del 8.5 %, a pagar en 30 años. De acuerdo a la tabla interior eso significaría un pago mensual de $7.69 por cada $1000.00.  

Opción 2: Financiar la compra de la casa con interés fijo del 7%, a pagar en 20 años. Esto representa $7.75 por cada $1000.00.

¿Qué opción aceptar? Para decidir debemos “hacer” algunos números. Para ambos casos:

El pago inicial será el 10% del préstamo: 0.1×$200,000.00 = $20,000.00.

La cantidad a financiar va a ser igual a $200,000.00 – $20,000.00 = $180,000.00

Costo de cierre (para dos puntos es el 2%) es 0.02×$180,000.00 = $3,600.00 (esto no se deduce del monto a pagar).

En la siguiente tabla resumimos los cálculos del pago mensual, el total de todos los pagos y el dinero total a pagar por concepto de interés.

Opción	Pago mensual ($)	Total de todos los pagos ($)	Interés a pagar por el préstamo ($)
1	(7.69×180,000)/1000 = 1,384.20	(1,384.20×30×12) = 498,312.00	318,312.00
2	(7.75×180,000)/1000 = 1,395.00	(1,395.00×30×12) = 318,312.00	154,800.00

Como se puede apreciar en la tabla anterior, el interés pagado por el financiamiento a 30 años, termina siendo el 176.84% del préstamo de $180,000.00; mientras que con el financiamiento a 20 años, el interés representa el 86% del préstamo. Por otro lado el pago mensual solo se incrementó muy ligeramente al recortar el tiempo del préstamo.

Como conclusión de este ejemplo, que hemos desarrollado meramente con fines didácticos, se puede enunciar que es preferible la opción 2, pues un incremento de un poco más de 10.00 dólares en el pago mensual, va a representar un ahorro a largo plazo de $163,512.00 que usted pagaría por concepto de interés (opción 2).

Busquemos siempre asesoría a la hora de emprender un proyecto tan importante como la compra de una casa, pero no nos guiemos exclusivamente por las recomendaciones que nos hacen los que nos “asesoran”; tomemos papel y lápiz y hagamos nuestros propios números para estar seguros que nuestra decisión es la correcta. No tengan temor alguno. La matemática siempre estará disponible para ir en nuestra ayuda.

Circuitos de Hamilton y el Método del Vecino más Cercano: Herramienta Matemática para ahorrar combustible y tiempo.

En este artículo queremos seguir ofreciendo ejemplos del uso de la Matemática para alcanzar el éxito personal y laboral. Esta vez explicaremos un método matemático que puede ser empleado para optimizar nuestros recorridos y de este modo ahorrar combustible y tiempo.

En nuestras ciudades abundan las pequeñas empresas que ofrecen servicios a domicilio: plomería, electricidad, aire acondicionado, entregas, entre otras. Muchos de estos pequeños empresarios no van más allá de tener un auto o camioneta donde se transportan, junto a sus herramientas y se mueven a todo el largo y ancho de nuestro condado, e incluso hasta condados aledaños.

Por el tipo de trabajo que realizan (muchas veces reparaciones sencillas o de mediana complejidad, entregas rápidas) pueden visitar a varios clientes, separados por decenas de millas, en una jornada de trabajo. Estas son empresas que no generan grandes ingresos y cualquier pequeño ahorro de dinero y/o tiempo puede representar la diferencia entre el éxito o el fracaso.

La optimización del trayecto puede evitarnos recorrer, innecesariamente, decenas de millas diarias y por ende ahorrarnos cientos de dólares mensuales por concepto de consumo de combustible  y tiempo empleado.

Veamos el siguiente escenario: Usted tiene planificado para mañana cinco limpiezas de aires acondicionados en diferentes puntos de la ciudad, situados en lugares tan variados como: Doral, Miami, Hialeah, Cutler Bay y Kendall. La pregunta en este caso es: ¿en qué orden debo realizar mi recorrido de modo que minimice las millas a recorrer?

Lo primero es colocar las direcciones de cada sitio en una herramienta disponible para todos: Google Map. Hallamos la distancia que separa a cada uno de estos puntos (siempre nos ofrecerá más de una opción, pero vamos a elegir la que menor recorrido implique. Otro factor a considerar al elegir la ruta entre dos puntos será el horario y la densidad del tráfico por esa ruta). Terminado esto vamos a obtener un mapa como el que muestro a continuación (figura 1.1) y a partir de ese mapa vamos a crear un gráfico completo (figura 1.2.).

Un gráfico se considera completo, cuando cada par de vértices están unidos con una línea recta. Los vértices coinciden con los sitios donde realizaremos nuestro trabajo. Las longitudes asignadas a cada eje, es la distancia que separa a cada lugar de uno de los restantes sitios de trabajo.

Llamaremos Circuito de Hamilton a un camino que trazaremos, tal que: salgamos de un punto o vértice, pasemos por todos los vértices una sola vez y regresemos al punto de partida.

El numero de Circuitos de Hamilton que se forman en un grafico completo son (n – 1)!, donde n es el número de vértices. Como tenemos lugares a visitar, vamos tener (5 – 1)! circuitos posibles, esto implica 4! = 4x3x2x1 = 24. Quiere decir, hay 24 diferentes formas para hacer nuestro recorrido. Si incluyéramos solo un sitio más, los recorridos posibles se elevarían a 60. Son demasiadas combinaciones para probar recorrido por recorrido (nos tomaría demasiado tiempo). El método que analiza todos los caminos se llama “Método de la Fuerza Bruta” y es demasiado engorroso incluso para una supercomputadora cuando los vértices llegan a ser de 15, 16 o más. Es el único método realmente exacto, para encontrar el recorrido óptimo.

Ante este inconveniente vamos a explicar un método aproximado: “Método del Vecino más Cercano”. En nuestro caso partiremos del vértice A (Doral). A este vértice “A” confluyen los segmentos AB, AC, AD, AE; el de menor longitud es AB, por lo que nos iremos directo a la dirección en Hialeah (6.3 millas). Parados en “B”, encontramos que confluyen los segmentos BC, BD, BE; el de menor longitud es BD, por lo que nuestra siguiente parada será en la ciudad de Miami (13.0 millas). Ahora sobre “D” encontramos que tenemos dos opciones: DC, DE; la menor distancia es trasladándonos hasta Kendall, en el punto C (17.5 millas). El último sitio a visitar es Cutler Bay (siguiendo la vía CE de longitud 13.4 millas) y regresar al Doral (punto A) a través del segmento EA (21.4 millas). Nuestro circuito queda entonces como A, B, D, C, E, A (mostrado en la figura 2) y el total de millas a recorrer será de 6.3 + 13.0 + 17.5 + 13.4 + 21.4 = 71.6 millas.

¿Qué sucede si elegimos al azar cualquier otro circuito? Veamos:

A, B, C, D, E, A = 82.2 millas (10.6 millas más a recorrer).

A, C, B, D, E, A = 80.0 millas (8.4 millas más a recorrer).

A, D, E, C, B, A = 73.3 millas (1.7 millas más a recorrer).

Sin embargo, el inconveniente de este método es que aunque te va a ofrecer un trayecto más corto que la mayoría de los posibles trayectos, no necesariamente este va a ser el óptimo. En este caso un trayecto mejor es ir a través de:

A, C, E, D, B, A = 64 millas (7.6 millas menos a recorrer, que en el camino ofrecido por el método del Vecino más Cercano). En este caso fue sencillo definir este trayecto de menor recorrido, por la poca cantidad de sitios a visitar.

Podemos considerar que vale la pena emplear este método a pesar de sus limitaciones pues: es muy fácil de implementar (basta tener acceso a Internet y un mínimo de habilidades con Google Maps), nos va a dar una trayectoria mejor que la mayor parte de las trayectorias posibles y en la medida que aumente el número de sitios a visitar (vértices de nuestro gráfico), va a ser más difícil encontrar, tanteando, el camino óptimo.  

Para preguntas, comentarios o sugerencia de temas a tratar, pueden escribir a: felixrm1971@gmail.com