En el año 1951 el economista Kenneth Arrow (premiado con
el Nobel de Economía en 1972) probó la validez del ahora conocido como: “Teorema de la
Imposibilidad de Arrow”. Este teorema establece que: “es matemáticamente imposible para
cualquier sistema de votación democrática, satisfacer los cuatro criterios de
equidad”. En otras palabras: no
existe, ni existirá jamás un sistema de votación democrática equitativo, cuando
participen de la votación más de dos candidatos.
¿Cuáles son estos criterios de equidad que Arrow
menciona? Los cuatro criterios son:
Criterio de la Mayoría: Si un candidato
recibe una mayoría de votos que lo ubican en primer lugar en una elección,
entonces él debe ser el ganador de la elección.
Criterio “Head to Head”: Si un candidato
es favorecido cuando se compara separadamente (significado de “head to head”)
con cada uno de los otros candidatos, entonces este debe ser el ganador de la
elección.
Criterio de Monotonía: si un candidato
gana una elección y en una reelección, los únicos cambios son cambios que
favorecen a este candidato, este debe resultar ganador de la elección.
Criterio de Alternativas Irrelevantes: Si un
candidato gana una elección y en el recuento los únicos cambios son que uno o
más de los candidatos son removidos de la boleta, entonces el candidato ganador
debe ser aún el ganador de la elección.
Veamos algunos de los métodos que son usados para
determinar el ganador de una elección:
Método de la Pluralidad: El candidato
con más votos que lo ubiquen en primer lugar es el ganador.
Método de Conteo de Borda: Los candidatos
son organizados de más favorecido a menos favorecido, cada último lugar recibe
un punto, cada penúltimo recibe dos puntos, antepenúltimo recibe tres y así
sucesivamente. El candidato con más puntos es el ganador.
Método de Pluralidad con Eliminación: El
candidato con la mayoría de primeros lugares es el ganador. Si no hay candidato
que reciba una mayoría de votos para primer lugar, se elimina de la tabla de
preferencias al candidato con la menor cantidad de votos para el primer lugar y
el resto de los candidatos son movidos un lugar hacia arriba. Si hay candidato
con una mayoría de primeros lugares, va a ser el ganador, si no se repite el proceso.
Método de Comparación por Pares: Usando una
tabla de preferencias, se compara cada candidato con el resto de los
candidatos. En cada comparación el candidato preferido recibe un punto y si hay
un empate, entonces recibe medio punto. Al final de todas las comparaciones el
candidato que haya recibido más puntos va a ser el ganador.
Veamos un ejemplo sencillo:
Vamos a suponer que cuatro candidatos se postulan a para
ser Presidentes de la Comisión de una ciudad “X”. Los nombres de los candidatos
serán: Jorge (J), Pedro (P), Ramón (R) y Carlos (C). La
comisión de la ciudad está integrada por 18 comisionados (incluyendo los cuatro
postulados y que no participarán de la votación). La tabla de preferencia que
recoge el resultado de las boletas de votación, de los catorce comisionados que
votan es mostrada a continuación:
|
Tabla
de preferencias
|
||||
|
# de
boletas con similar orden
|
6
|
4
|
3
|
1
|
|
1er Lugar
|
J
|
R
|
C
|
P
|
|
2do Lugar
|
R
|
P
|
R
|
J
|
|
3er Lugar
|
P
|
J
|
J
|
R
|
|
4to Lugar
|
C
|
C
|
P
|
C
|
De acuerdo al método de la pluralidad el ganador
de la elección sería Jorge al
recibir seis votos en primer lugar; en segundo lugar queda Ramón con cuatro
primeros lugares; luego Carlos con tres votos para Presidente y finalmente
Pedro con solamente un voto para la primera posición.
Apliquemos ahora el método del conteo de Borda,
vamos a asignar cuatro puntos por los votos en primer lugar, tres por los votos
en segunda posición, dos por los votos en tercer puesto y finalmente un punto
por los votos en cuarto lugar. De ese modo cada candidato recibirá:
|
Candidato
|
(Votos
x Puntos asignados a esa posición)
|
Total
de Puntos
|
|
Jorge
(J):
|
(6x4)
+ (4x2) + (3x2) + (1x3) = 24 + 8 + 6 + 3 =
|
41
|
|
Ramón (R):
|
(6x3) + (4x4) + (3x3) + (1x2) = 18 + 16 + 9 + 2 =
|
45
|
|
Pedro (P):
|
(6x2) + (4x3) + (3x1) + (1x4) = 12 + 12 + 3 + 4 =
|
31
|
|
Carlos (C):
|
(6x1) + (4x1) + (3x4) + (1x1) = 6 + 4 + 12 + 1 =
|
23
|
Acorde a los resultados obtenidos por este método,
evidentemente, es Ramón quién recibe
mayor puntuación (cuarenta y cinco puntos) y por tanto gana la votación.
Al usar dos sistemas diferentes para el conteo de votos,
hemos obtenidos diferentes ganadores. Por un lado, el método de la pluralidad
(que da por vencedor a Jorge) viola el criterio de “head to head”, pues al
comparar un candidato contra otro Ramón ha recibido mejores puntuaciones que
Jorge. Por otro lado, el método de Borda (que da por vencedor a Ramón) viola el
criterio de la mayoría, pues Jorge ha recibido mayor cantidad de votos para el
primer lugar que Ramón. Si probáramos los otros dos métodos mencionados al
principio, posiblemente encontraríamos nuevas discrepancias.
¿Indican acaso estos resultados que la votación
democrática es una ilusión, una falacia? Por supuesto que no. La cuestión se
trata de establecer las reglas, de modo bien claro, antes de que se realice la
elección. Por otra parte, cuando se emplea uno u otro sistema de votación
democrática, se viola uno u otro de los principios de equidad; pero cuando se
eligen los oficiales “a dedo”, como hacen los “regímenes totalitarios”, se violan
todos los principios de equidad juntos.
Apostemos a la votación
democrática, a pesar de sus inevitables carencias.
